Question

【題目】雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,左右項(xiàng)點(diǎn)分別為,點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若點(diǎn)在第一象限， 且,求點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)與不重合，直線分別交軸于兩點(diǎn)，求證: ;

(3)若點(diǎn)在左支上，是否存在實(shí)數(shù),使得到直線的距離與之比為定值?若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析；(3)

【解析】

(1)根據(jù)與可算得再設(shè)點(diǎn)列式求得的坐標(biāo)即可.

(2)設(shè)再利用三點(diǎn)共線斜率相等求得的坐標(biāo),再表達(dá)證明即可.

(3) 設(shè)再表達(dá)出到直線的距離與之比,化簡(jiǎn)求得對(duì)應(yīng)的表達(dá)式再分析的取值即可.

(1)雙曲線中,故,算得,

設(shè)則將,帶入

即,,因?yàn)?/span>在第一象限,所以故

代入可得,故

(2) 由,設(shè),,則由題意

,

故,,所以,又因?yàn)?/span>,

所以,,

代入得,因?yàn)?/span>,所以

,即

(3) 設(shè),因?yàn)?/span>所以

所以

為定值,則

故存在使得到直線的距離與之比為定值.