Question

【題目】某市環(huán)保部門(mén)對(duì)市中心每天的環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）的關(guān)系為，，其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且．若用每天的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作．

（1）令，，求的取值范圍；

（2）求的表達(dá)式，并規(guī)定當(dāng)時(shí)為綜合污染指數(shù)不超標(biāo)，求當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，該市市中心的綜合污染指數(shù)不超標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，得到；當(dāng)時(shí)，，利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可求得，取并集得到結(jié)果；

（2）由（1）可將化為，得到的單調(diào)性后，可知最大值在或處取得；分別在和兩種情況下確定的最大值，即，由得到不等式，解不等式求得結(jié)果.

（1）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），又時(shí)，

綜上所述：

（2）由（1）知：令，則，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增

又，

①當(dāng)時(shí)，

由得：

②當(dāng)時(shí)，

由得：

綜上所述：當(dāng)時(shí)，綜合污染指數(shù)不超標(biāo)