Question

已知在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=3，M，N分別是棱BB₁，BC上的點(diǎn)，且BM=2，BN=1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求：
（1）異面直線DM與AN所成角的余弦值；
（2）直線DM與平面AMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定，，利用向量的夾角公式，即可求異面直線DM與AN所成角的余弦值；
（2）求出平面AMN的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線DM與平面AMN所成角的正弦值．
解答：解：由題意知，D（2，0，0），B（0，4，0），A₁（0，0，3），M（0，4，2），N（1，4，0），
（1），，
∴，…（5分）
∴異面直線DM與AN所成角的余弦值為．       …（7分）
（2），，
設(shè)平面AMN的法向量為=（x，y，z），
則，即，解得，
不妨取x=4，則y=-1，z=2，故平面AMN的一個(gè)法向量為=（4，-1，2），（10分）
則，…（12分）
根據(jù)圖形可知，直線DM與平面AMN所成角的正弦值為． …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查空間角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用向量的夾角公式是關(guān)鍵．