Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為；

（1）求軌跡的方程；

（2）求定點(diǎn)到軌跡上任意一點(diǎn)的距離的最小值；

（3）設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；

(3) 當(dāng)時(shí),直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí), 直線與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí), 直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn)

【解析】

(1) 設(shè)點(diǎn),再根據(jù)題意求解關(guān)于的方程化簡即可.

(2)根據(jù)(1)中的軌跡方程,分情況討論的最小值即可.

(3)根據(jù)(1)中的方程,結(jié)合直線過分三種情況進(jìn)行討論即可.

(1)設(shè)點(diǎn),依題意得,即,

即.化簡整理得 .

故點(diǎn)的軌跡的方程為

(2)在點(diǎn)的軌跡中,記,.

設(shè),當(dāng)點(diǎn)的軌跡在上時(shí),

,當(dāng)時(shí)取得最小值.

當(dāng)點(diǎn)的軌跡在上時(shí),

綜上所述：當(dāng)時(shí),即,.

(3) 在點(diǎn)的軌跡中,記,.

依題意,可設(shè)直線的方程為.

由方程組 可得①

當(dāng)時(shí),此時(shí) ,把代入軌跡的方程,得.

故此時(shí)直線：與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn).

當(dāng)時(shí),方程①的判別式為②

設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為,則

由,令,得③

若,由②③解得,或.

即當(dāng)時(shí),直線與沒有公共點(diǎn),與有一個(gè)公共點(diǎn),

故此時(shí)直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn).

若或,由②③解得,或.

即當(dāng)時(shí),直線與只有一個(gè)公共點(diǎn),與有一個(gè)公共點(diǎn).

當(dāng)時(shí), 直線與有兩個(gè)公共點(diǎn),與沒有公共點(diǎn).

故當(dāng)時(shí),直線與恰好有兩個(gè)公共點(diǎn).

若,由②③解得,或.

即當(dāng)時(shí),直線與有兩個(gè)公共點(diǎn),與有一個(gè)公共點(diǎn),

故此時(shí)直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)時(shí),直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí), 直線與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí), 直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn)