Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，平面平面ABC，，.

（1）若，求證：平面平面PBC；

（2）若PA與平面ABC所成的角為，求二面角C-PB-A的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）

【解析】

(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，由此即可證明平面平面；

(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，求解出平面、平面的法向量，利用法向量夾角的余弦值求解出二面角的余弦值.

解：（1）證明：因?yàn)槠矫?/span>平面ABC，平面平面，平面ABC，，

所以平面PAC，由平面PAC，所以，

又因?yàn)?/span>，所以平面PBC，

因?yàn)?/span>平面PAB，所以平面平面PBC；

（2）過(guò)P作，因?yàn)槠矫?/span>平面ABC，

所以平面ABC，所以，

不妨設(shè)，所以，

以C為原點(diǎn)，分別以CA，CB所在的直線為x，y軸，以過(guò)C點(diǎn)且平行于PH的直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，

，，

設(shè)為面PAB的一個(gè)法向量，

則有，即，令，可得，

設(shè)為面PBC的一個(gè)法向量，

則有，即，令，可得，

所以，

所以二面角C-PB-A的余弦值為.