Question

（2012•西區(qū)模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，F(xiàn)為橢圓的右焦點，M、N兩點在橢圓C上，且

MF

=λ

FN

(λ＞0)，定點A（-4，0）．
（1）求證：當λ=1時，

MN

⊥

AF

；
（2）若當λ=1時，有

AM

•

AN

=

106

3

，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（c，0）通過λ=1時，

MF

=

FN

，M、N兩點在橢圓上，求出x1 =x2 ，然后通過數(shù)量積證明

MN

⊥

AF

．
（2）當λ=1時，不妨設(shè)M（c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），通過λ=1時，有

AM

•

AN

=

106

3

，求出a，b，得到橢圓的方程．

解答：解：（1）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（c，0）
則

MF

=(c-x1，-y1)，

FN

=(x2-c，y2)，
當λ=1時，

MF

=

FN

∴-y₁=y₂，x₁+x₂=2c，
由M、N兩點在橢圓上，
∴x12=a2(1-

y12

b2

)，x22=a2(1-

y22

b2

)，
∴x12=x22若
x1 =-x2 ，則x1 +x2 =0≠2，（舍去），
所以x1 =x2 ，
∴

MN

=(0，2y2)，

AF

=(4+c，0)，

MN

• 

AF

=0，
∴

MN

⊥

AF

．
（2）當λ=1時，不妨設(shè)M（c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），

AM

•

AN

=(c+4)2-

b4

a 2

= 

106

3

，
因為a²=

3

2

c2，b2=

1

2

c2，
∴

5

6

c2+8c+16=

106

3

，
∴c=2，a²=6，b²=2，
故橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，向量在幾何中的應(yīng)用，橢圓的標準方程，考查函數(shù)與方程的思想，計算能力．