Question

（2011•上海）定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂都滿(mǎn)足不等式f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

的所有函數(shù)f（x）組成的集合記為M，例如，函數(shù)f（x）=kx+b∈M．
（1）已知函數(shù)f（x）=

x，x≥0 1 2 x，x＜0

，證明：f（x）∈M；
（2）寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)f（x），使得f（x₀）∉M，并說(shuō)明理由；
（3）寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)f（x）∈M，使得數(shù)列極限

lim

n→∞

f(n)

n2

=1，

lim

n→∞

f(-n)

-n

=1．

Answer 1

分析：（1）分類(lèi)討論，驗(yàn)證f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立，即可得到結(jié)論；
（2）利用條件，構(gòu)造函數(shù)f（x）=-x²，f（x）∉M，再取值驗(yàn)證即可；
（3）利用條件，構(gòu)造函數(shù)f（x）=

x2，x≥1 x，x＜1

滿(mǎn)足f（x）∈M，驗(yàn)證條件即可．

解答：解：（1）證明：由題意，當(dāng)x₁≤x₂≤0或0≤x₁≤x₂時(shí)，f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立
設(shè)x₁≤0≤x₂，且

x1+x2

2

＜0，
∵

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）=

1

2

(

1

2

x1+x2)-

1

2

•

x1+x2

2

=

x2

4

≥0
∴f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立
設(shè)x₁≤0≤x₂，且

x1+x2

2

≥0，
∵

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）=

1

2

(

1

2

x1+x2)-

1

2

•

x1+x2

2

=

-x1

4

≥0
∴f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立
∴綜上所述，f（x）∈M；
（2）如函數(shù)f（x）=-x²，f（x）∉M
取x₁=-1，x₂=1，則

f(x1)+f(x2)

2

=-1，f（

x1+x2

2

）=0
此時(shí)f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

不成立；
（3）f（x）=

x2，x≥1 x，x＜1

滿(mǎn)足f（x）∈M，且

lim

n→∞

f(n)

n2

=

lim

n→∞

n2

n2

=1，

lim

n→∞

f(-n)

-n

=

lim

n→∞

-n

-n

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．