Question

設(shè)向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)，若存在x∈[0，

π

2

]，使得不等式

a

•

b

-k≤0成立，則實(shí)數(shù)k的最小值是

3

．

Answer 1

分析：利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式和三角恒等變換，可得

a

•

b

=2sin（2x+

π

6

）+1，從而得到當(dāng)0≤x≤

π

2

時(shí)，

a

•

b

的取值范圍為[0，3]，最后結(jié)合不等式恒成立的條件，即可得到實(shí)數(shù)k的最小值．

解答：解：∵

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)
∴

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1
∵x∈[0，

π

2

]，得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，得0≤2sin（2x+

π

6

）+1≤3
即

a

•

b

的取值范圍為[0，3]
∵不等式

a

•

b

-k≤0成立，
∴k≥（

a

•

b

）_max，得k≥3，k的最小值為3
故答案為：3

點(diǎn)評：本題給出含有向量數(shù)量積的不等式恒成立，求參數(shù)k的最小值．著重以向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，考查三角函數(shù)和不等式恒成立的知識，屬于中檔題．