Question

（2013•德州一模）數(shù)列{a_n}是公差不小0的等差數(shù)列a₁、a₃，是函數(shù)f（x）=1n（x²-6x+6）的零點(diǎn)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n=1-2b_n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知，a₁、a₃，是令f（x）=0即x²-6x+6=1的兩根，求出a₁、a₃，易求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，T_n=1-2b_n，令n=1得T₁=1-2b₁，解得b₁=

1

3

，當(dāng)n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-1-2b_n，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，利用公式求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）得c_n=a_nb_n=（2n-1）•

1

3

•(

2

3

)n-1=

2n-1

3

•(

2

3

)n-1，利用錯位相消法求和即可．

解答：解：（1）令f（x）=0得x²-6x+6=1，解得x=1或5，由于d＞0，所以a₁=1，a₃=5，2d=4，d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）
由于T_n=1-2b_n，令n=1得T₁=1-2b₁，解得b₁=

1

3

，當(dāng)n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-1-2b_n，∴b_n=

2

3

b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b_n=

1

3

•(

2

3

)n-1（n∈N^*）；
（2）由（1）得c_n=a_nb_n=（2n-1）•

1

3

•(

2

3

)n-1=

2n-1

3

•(

2

3

)n-1
S_n=

1

3

[1•(

2

3

)0+3•(

2

3

)1+5•(

2

3

)2+…+(2n-1)•(

2

3

)n-1]

2

3

S_n=

1

3

[1•(

2

3

)1+3•(

2

3

)2+5•(

2

3

)3+…+(2n-1)•(

2

3

)n]
兩式相減得

1

3

Sn=

1

3

+

2

3

[(

2

3

)1+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-1]-

2n-1

3

•(

2

3

)n，
∴S_n=5-（2n+5）(

2

3

)n（n∈N^*）．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，要熟練掌握數(shù)列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．