Question

【題目】某廠有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為.

(1)若出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為，求的分布列；

(2) 該廠至少有多少名工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%？

(3)已知一名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬(wàn)元的工資，每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，就使該廠產(chǎn)生5萬(wàn)元的利潤(rùn)，否則將不產(chǎn)生利潤(rùn)，若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ．

【解析】試題分析：（1）首先利用題意判定該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，再利用二項(xiàng)分布的概率公式求出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，再列表得到分布列；（2）利用互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式進(jìn)行求解；（3）列出隨機(jī)變量的所有可能取值，利用對(duì)應(yīng)關(guān)系得到每個(gè)變量的概率，列表得到分布列，進(jìn)而得到期望值.

試題解析：（1）一臺(tái)機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障可看作一次實(shí)驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)為，則事件的概率為，該廠有4臺(tái)機(jī)器就相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為，故，

， ,

，

即的分布列為：

（2）設(shè)該廠有名工人，則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障及時(shí)進(jìn)行維修”為，即， ， ， ，這個(gè)互斥事件的和事件，則

%,

至少要3名工人，才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%.

（3）設(shè)該廠獲利為萬(wàn)元，則的所有可能取值為：

，

，

，

即的分布列為：

則，

故該廠獲利的均值為.