Question

（本題滿分14分）
已知是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（Ⅱ）是否存在，使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)于任意的，不等式
恒成立，求正整數(shù)的最大值．

Answer 1

（1）（2）不存在（3）8

（Ⅰ），得，解得，或．
由于，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141226897670.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以.
故，
整理，得，即．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141226631381.gif" style="vertical-align:middle;" />是遞增數(shù)列，且，故，因此．
則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
所以.………………………………………………5分
（Ⅱ）滿足條件的正整數(shù)不存在，證明如下：
假設(shè)存在，使得，
則．
整理，得，    ①
顯然，左邊為整數(shù)，所以①式不成立．
故滿足條件的正整數(shù)不存在．                    ……………………8分
（Ⅲ），
不等式可轉(zhuǎn)化為

．
設(shè)，
則

.
所以，即當(dāng)增大時(shí)，也增大．
要使不等式對(duì)于任意的恒成立，只需即可．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141227458916.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以.
即.
所以，正整數(shù)的最大值為8．           ………………………………………14分