Question

已知二元一次不等式組

x+y-4≥0 x-y-2≤0 x-3y+4≥0

所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，若M與圓（x-4）²+（y-1）²=a（a＞0）至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、(

  1

  2

  ，5)
• B、(1，

  5

  2

  )
• C、(

  1

  2

  ，5]
• D、(

  1

  2

  ，

  5

  2

  ]

Answer 1

分析：先畫(huà)出二元一次不等式組

x+y-4≥0 x-y-2≤0 x-3y+4≥0

所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，不等式組圍成的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，分別考慮臨界位置求出相應(yīng)的半徑，從而求出a的取值范圍．

解答：解：先畫(huà)出二元一次不等式組

x+y-4≥0 x-y-2≤0 x-3y+4≥0

所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，
當(dāng)圓（x-4）²+（y-1）²=a（a＞0）與AB相切時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)
此時(shí)圓的半徑為r=

|1|

2

=

2

2

=

a

∴a=

1

2

當(dāng)圓（x-4）²+（y-1）²=a（a＞0）過(guò)點(diǎn)B（5，3）與點(diǎn)C（2，2）時(shí)卻好有兩個(gè)交點(diǎn)
此時(shí)圓的半徑為r=

5

=

a

∴a=5
∴M與圓（x-4）²+（y-1）²=a（a＞0）至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

1

2

，5]
故選C．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)二元一次不等式組得到一個(gè)平面區(qū)域，會(huì)根據(jù)條件求圓的方程．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)注意利用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是找出臨界位置．