Question

在數(shù)列中，已知，，(，)．
（1）當(dāng)，時(shí)，分別求的值，判斷是否為定值，并給出證明；
（2）求出所有的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)．

Answer 1

（1）()．（2）當(dāng)時(shí)，滿足條件.

試題分析：（1）第一步是歸納，分別進(jìn)行計(jì)算. 由已知得，．所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．第二步猜想，()．第三步證明，本題可用數(shù)學(xué)歸納法證，也可證等式恒成立，（2）探求整數(shù)解問(wèn)題，一般要構(gòu)造一個(gè)可說(shuō)明的整式. 設(shè)，則，又，且501=1501=3167，故 或所以 或
由解得；由得無(wú)整數(shù)解．所以當(dāng)時(shí)，滿足條件．
試題解析：（1）由已知得，．
所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．      2分
猜想：()．                                   3分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，
將代入上式，可得．
則當(dāng)時(shí)，
．
故當(dāng)結(jié)論成立，
根據(jù)①,②可得，()成立．                        5分
（2）將代入，得，
則，，
設(shè)，則，
即，                                   7分
又，且501=1501=3167，
故 或
所以 或
由解得；由得無(wú)整數(shù)解．
所以當(dāng)時(shí)，滿足條件．                                          10分