Question

已知a，b，c為正實數(shù)，a+b+c=1. 求證:
(1)a²+b²+c²≥
(2)≤6

Answer 1

證明略

(1)證法一:a²+b²+c²－=(3a²+3b²+3c²－1)
=［3a²+3b²+3c²－(a+b+c)²］
=［3a²+3b²+3c²－a²－b²－c²－2ab－2ac－2bc］
=［(a－b)²+(b－c)²+(c－a)²］≥0 ∴a²+b²+c²≥
證法二:∵(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
≤a²+b²+c²+a²+b²+a²+c²+b²+c²
∴3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²="1 " ∴a²+b²+c²≥
證法三: ∵∴a²+b²+c²≥
∴a²+b²+c²≥
證法四：設(shè)a=+α，b=+β，c=+γ.
∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0
∴a²+b²+c²=(+α)²+(+β)²+(+γ)²
=+ (α+β+γ)+α²+β²+γ²
=+α²+β²+γ²≥
∴a²+b²+c²≥

∴原不等式成立.
證法二：

∴≤＜6
∴原不等式成立.