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          如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
          （1）設PD的中點為M，求證：AM∥平面PBC；
          （2）求PA與平面PBC所成角的正弦值．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （1）證明：如圖建立空間直角坐標系，設PD=CD=2AD=2，BC=
          		2
          a，則A（1，0，0），B（a，2-a，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，0，1）．…（3分）
          設平面PBC的一個法向量為
          n
          =(x，y，z)          ，則
          n
          •
          PB
          =0          ，
          n
          •
          PC
          =0
          ∴ax+y（2-a）-2z=0，2y-2z=0
          令z=1得
          n
          =(1，1，1)          ．…（7分）
          而
          AM
          =(-1，0，1)          ，所以
          AM
          •
          n
          =0          ，即
          AM
          ⊥
          n
          ，
          又AM?平面PBC
          故AM∥平面PBC；．…（9分）
          （2）
          PA
          =(1，0，-2)          ，設PA與平面PBC所成角為α，
          由直線與平面所成角的向量公式有sinα=
          |
          PA
          •
          n
          |
          |
          PA
          ||
          n
          |
          =
          1
          		5
          ×
          		3
          =
          		15
          15
          ．　　　　　　　　　　　　　　　　　…（12分）
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：單選題
			
          

						
          圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）。若AM⊥MP，則P點形成的軌跡的長度為（    ）
          A．B．C． 3D．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          在如圖所示的幾何體ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M為
          AD的中點．（1）證明：EM⊥AB；（2）求直線BM和平面ADE所成角的正弦值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，四棱錐S-ABCD的正視圖是邊長為2的正方形，側視圖和俯視圖是全等的等腰三角形，直線邊長為2．
          （1）求二面角C-SB-A的大小；
          （2）P為棱SB上的點，當SP的長為何值時，CP⊥SA？
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，等邊△SAB與直角梯形ABCD垂直，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=2，AD=1．若E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點．
          （1）求|
          SC
          +
          SD
          |的值；
          （2）求面SCD與面SAB所成的二面角大�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°
          （1）證明：AB⊥A1C；
          （2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，且AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的余弦值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=
          1
          2
          CD=1，PD⊥面ABCD，PD=
          		2
          ，E是PC的中點
          （1）證明：BE∥面PAD；
          （2）求二面角E-BD-C的大小．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，已知四邊形ABCD與CDEF均為正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．
          （Ⅰ）求證：ED⊥平面ABCD；
          （Ⅱ）求二面角D-BE-C的大小．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四邊形ABCD是菱形，其中E為BD的中點．
          （1）求證：C′E∥面AB′D′；
          （2）求面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值；
          （3）求四棱錐B'-ABCD與D'-ABCD的公共部分體積．
          

			
          

			
          
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