Question

已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過斜率為的直線交雙曲線的左、右兩支分別于A、C兩點(diǎn)，過且與垂直的直線交雙曲線的左、右兩支分別于D、B兩點(diǎn)．

   （1）求的取值范圍；

   （2）設(shè)點(diǎn)P是直線、的交點(diǎn)為，求證：＞；

   （3）求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

解析：（1）由條件知，、的方程分別為、．

由，得．

由于交雙曲線的左、右兩支分別于A、C兩點(diǎn)，

所以＜0，解得＜3．

由，得．

由于交雙曲線的左、右兩支分別于D、B兩點(diǎn)，

所以＜0，解得＞．

因此，＜＜3，的取值范圍是．

（2）由條件知，，點(diǎn)P在以為直徑的圓上．

所以．

因此＞＝．

（3）由（1）知，．

．

∴四邊形ABCD的面積．

由于＝．當(dāng)且僅當(dāng)

，即時(shí)，等號(hào)成立．

所以，四邊形ABCD面積的最小值為18．