Question

【題目】已知函數(shù)，對(duì)任意a，恒有，且當(dāng)時(shí)，有．

Ⅰ求；

Ⅱ求證：在R上為增函數(shù)；

Ⅲ若關(guān)于x的不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）見解析； （Ⅲ）.

【解析】

Ⅰ根據(jù)題意，由特殊值法令，則，變形可得的值，

Ⅱ任取，，且設(shè)，則，結(jié)合，分析可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案；

Ⅲ根據(jù)題意，原不等式可以變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，令，則原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即對(duì)任意恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．

Ⅰ根據(jù)題意，在中，

令，則，則有；

Ⅱ證明：任取，，且設(shè)，則，，

又由，

則，

則有，

故在R上為增函數(shù)．

Ⅲ根據(jù)題意，，

即，則，

又由，則，

又由在R上為增函數(shù)，則，

令，，則，

則原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，

即對(duì)任意恒成立，

令，只需，

而，，

當(dāng)時(shí)，，則．

故t的取值范圍是．