Question

【題目】己知函數(shù)， ．

（I）求函數(shù)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（II）設(shè)，若函數(shù)在上是增函數(shù)．

求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （II）的取值范圍是

【解析】試題分析：（1）先求得， 時(shí)， 恒成立，可證明時(shí)， ，可得在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)定理可得結(jié)果；（2）化簡(jiǎn)為分段函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論兩種情況，分別分離參數(shù)求最值即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù) ,

求導(dǎo)，得，

當(dāng)時(shí)， 恒成立，

當(dāng)時(shí)， ，

∴ ，

∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．

又， ，

曲線在[1，2]上連續(xù)不間斷，

∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知，唯一的∈（1，2），使，

所以，函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．

（II）由（Ⅰ）知：當(dāng)時(shí)， ＞0，當(dāng)時(shí)， ＜0．

∴當(dāng)時(shí)， =

求導(dǎo)，得

由于函數(shù)在上是增函數(shù)， 故在， 上恒成立.

①當(dāng)時(shí)， ≥0在上恒成立，

即在上恒成立，

記， ，則，，

所以， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴min= 極小值= ，

故“在上恒成立”，只需 ，即．

②當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，

綜合①②知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)．

故實(shí)數(shù)的取值范圍是．