Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)），x∈R，
（1）若f（﹣1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求F（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，g（x）=f（x）﹣kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）能否大于零．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0①，

又x∈R，f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），

∴ ②，

由①②消掉a得，b2﹣4（b﹣1）=0，

∴b=2，a=1，

∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．

∴

（2）解：由（1）知，g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1= ，

當(dāng) 或 時(shí)，

即k≥6或k≤﹣2時(shí)，g（x）是單調(diào)函數(shù)

（3）解：∵f（x）是偶函數(shù)，

∴f（x）=ax2+1， ，

∵mn＜0，設(shè)m＞n，則n＜0．

又m+n＞0，

∴m＞﹣n＞0，

∴|m|＞|﹣n|，

F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，

∴F（m）+F（n）能大于零

【解析】（1）由f（﹣1）=0得a﹣b+1=0①，由x∈R，f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），得∴ ②，聯(lián)立①②可解a，b；（2）由（1）表示出g（x），根據(jù)拋物線對(duì)稱軸與區(qū)間[﹣2，2]位置可得不等式，解出即可；（3）由f（x）為偶函數(shù)可得b=0，從而可表示出F（x），由mn＜0，不妨設(shè)m＞0，n＜0，則m＞﹣n＞0，即|m|＞|﹣n|，由此刻判斷F（m）+F（n）的符號(hào)；
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解奇偶性與單調(diào)性的綜合(奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性)．