Question

已知f（x）為偶函數(shù)，且x＞0時，f(x)=

1

a

-

1

x

(a＞0)．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（0，∞）上的單調(diào)性，并證明；
（2）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求a的值；
（3）求x∈（-∞，0）時函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷和證明即可
（2）由（1）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性及已知函數(shù)的 值域可求a
（3）可設(shè)x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），結(jié)合已知x＞0時的函數(shù)解析式及函數(shù)為偶函數(shù)可求

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．．…（1分）
證明如下：
任取0＜x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

1

a

-

1

x1

-

1

a

+

1

x2

=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

．…（3分）
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)..…（6分）
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數(shù)，值域為[

1

2

，2]，．…（7分）
∴f（

1

2

）=

1

2

，f（2）=2，．…（9分）
即

1 a -2= 1 2 1 a - 1 2 =2

，解得a=

2

5

..…（11分）
（3）設(shè)x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），
∴f（-x）=

1

a

-

1

-x

=

1

a

+

1

x

．…（12分）
又因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）=

1

a

-

1

-x

=

1

a

+

1

x

..…（14分）

點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的值域等知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的基本知識