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        1. 已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=-(x-1)2+1,滿足f[f(a)]=
          1
          2
          的實(shí)數(shù)a的個數(shù)為( 。
          A、2B、4C、6D、8
          分析:令f(a)=x,則f[f(a)]=
          1
          2
          轉(zhuǎn)化為f(x)=
          1
          2
          .先解f(x)=
          1
          2
          在x≥0時的解,再利用偶函數(shù)的性質(zhì),求出f(x)=
          1
          2
          在x<0時的解,最后解方程f(a)=x即可.
          解答:解:令f(a)=x,則f[f(a)]=
          1
          2
          變形為f(x)=
          1
          2
          ;
          當(dāng)x≥0時,f(x)=-(x-1)2+1=
          1
          2
          ,解得x1=1+
          2
          2
          ,x2=1-
          2
          2
          ;
          ∵f(x)為偶函數(shù),
          ∴當(dāng)x<0時,f(x)=
          1
          2
          的解為x3=-1-
          2
          2
          ,x4=-1+
          2
          2
          ;
          綜上所述,f(a)=1+
          2
          2
          ,1-
          2
          2
          ,-1-
          2
          2
          ,-1+
          2
          2
          ;
          當(dāng)a≥0時,
          f(a)=-(a-1)2+1=1+
          2
          2
          ,方程無解;
          f(a)=-(a-1)2+1=1-
          2
          2
          ,方程有2解;
          f(a)=-(a-1)2+1=-1-
          2
          2
          ,方程有1解;
          f(a)=-(a-1)2+1=-1+
          2
          2
          ,方程有1解;
          故當(dāng)a≥0時,方程f(a)=x有4解,由偶函數(shù)的性質(zhì),易得當(dāng)a<0時,方程f(a)=x也有4解,
          綜上所述,滿足f[f(a)]=
          1
          2
          的實(shí)數(shù)a的個數(shù)為8,
          故選D.
          點(diǎn)評:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和方程的解的個數(shù)問題,同時運(yùn)用了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,對學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力要求較高,是高考的熱點(diǎn)問題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知f(x)為偶函數(shù),且x>0時,f(x)=
          1
          a
          -
          1
          x
          (a>0)

          (1)判斷函數(shù)f(x)在(0,∞)上的單調(diào)性,并證明;
          (2)若f(x)在[
          1
          2
          ,2]
          上的值域是[
          1
          2
          ,2]
          ,求a的值;
          (3)求x∈(-∞,0)時函數(shù)f(x)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知f(x)為偶函數(shù),它在零到正無窮上是增函數(shù),求f(2m-3)<f(8)的m范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知f(x)為偶函數(shù),且f(1+x)=f(3-x),當(dāng)-2≤x≤0時,f(x)=3x,則f(2011)=
          1
          3
          1
          3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知f(x)為偶函數(shù),x≥0 時,f(x)=x3-8,則f(x-2)>0的解集為
           

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          同步練習(xí)冊答案