【題目】袋中有大小相同的紅、黃兩種顏色的球各1個，從中任取1只，有放回地抽取3次．
求：（1）3只全是紅球的概率；
（2）3只顏色全相同的概率；
（3）3只顏色不全相同的概率。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
本題考查等可能事件的概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率，本題解題的關(guān)鍵是看清條件中所給的是有放回的抽樣，注意區(qū)別有放回和無放回兩種不同的情況，本題是一個中檔題目
（1）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，從袋中摸球，摸到紅球的概率是1/2
，三次有放回到摸球可以看做是三次獨立重復(fù)試驗，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（2）三只顏色全相同，則可能抽到紅色和黃色兩種情況，這兩種情況是互斥的，根據(jù)做出的每個球被抽到的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件的概率，得到結(jié)果．
（3）根據(jù)二問做出的結(jié)果，三只顏色不全相同，是三只顏色全部相同的對立事件，用對立事件的概率得到結(jié)果，或者是用樹狀圖列出的結(jié)果求出比值．
解：由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均為
．
Ⅰ、3只全是紅球的概率為P1＝··＝．
Ⅱ、3只顏色全相同的概率為P2＝2·P1＝2·＝．
Ⅲ、3只顏色不全相同的概率為P3＝1－P2＝1－＝
導(dǎo)學(xué)教程高中新課標(biāo)系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）討論
的單調(diào)性；
（2）當(dāng)
時，若函數(shù)在
上有且只有一個零點，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標(biāo)原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線
的極坐標(biāo)方程為
.
（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線與軸的交點為
，經(jīng)過點的直線
與曲線交于
兩點，若
，求直線的傾斜角.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門對100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100
的有40人；在45名女性駕駛員中，平均車速不超過100的有25人.
（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過100的人與性別有關(guān).
平均車速超過100 | 平均車速不超過100 | 合計 | |
男性駕駛員人數(shù) | |||
女性駕駛員人數(shù) | |||
合計 |
（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過100的車輛數(shù)為
，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式與數(shù)據(jù)：
，其中
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】江蘇省從2021年開始，高考取消文理分科，實行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位學(xué)生必須從物理、歷史中選擇一個科目且只能選擇一個科目，某校為了解高一年級學(xué)生對“1”的選課情況，隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，如下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的2×2列聯(lián)表.
性別 | 選擇物理 | 選擇歷史 | 總計 |
男生 | 50 | b | m |
女生 | c | 20 | 40 |
總計 | 100 |
（1）求m，b，c的值；
（2）請你依據(jù)該列聯(lián)表判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由.
附：對于2×2列聯(lián)表
類1 | 類2 | 合計 | |
類A | a | b | a＋b |
類B | c | d | c＋d |
合計 | a＋c | b＋d | a＋b＋c＋d |
有
，其中
.
P( | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.
（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：
，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；
（2）已知數(shù)列{bn}滿足:
，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．
①求數(shù)列{bn}的通項公式；
②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}
，對任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時，都有
成立，求m的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若函數(shù)
在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)
的最大值；
（2）當(dāng)
，確定函數(shù)零點的個數(shù)；
（3）若存在正實數(shù)對
，使得當(dāng)
時，
能成立，求實數(shù)的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人立德之源、立功之本�！痹谥腥A民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律。愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入
（億元）與科技改造直接收益
（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
| 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 | 68.5 | 68 | 67.5 | 66 | 66 |
當(dāng)
時，建立了
與的兩個回歸模型：模型①：
；模型②：
；當(dāng)
時，確定與滿足的線性回歸方程為：
.
（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時模型①、②的相關(guān)指數(shù)
，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.
回歸模型 | 模型① | 模型② |
回歸方程 |
|
|
| 182.4 | 79.2 |
（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)
，
.）
（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大�。�
（附：用最小二乘法求線性回歸方程
的系數(shù)公式
；
）
（3）科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動機的熱效率
大幅提高，
服從正態(tài)分布
，公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發(fā)動機的熱效率不超過
，不予獎勵；若發(fā)動機的熱效率超過但不超過
，每臺發(fā)動機獎勵2萬元；若發(fā)動機的熱效率超過，每臺發(fā)動機獎勵5萬元.求每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望.
（附：隨機變量
服從正態(tài)分布
，則
，
.）
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