Question

【題目】已知點F為拋物線C：y2=4x的焦點，點P是準線l上的動點，直線PF交拋物線C于A，B兩點，若點P的縱坐標為m（m≠0），點D為準線l與x軸的交點． （Ⅰ）求直線PF的方程；
（Ⅱ）求△DAB的面積S范圍；
（Ⅲ）設 ， ，求證λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題知點P，F(xiàn)的坐標分別為（﹣1，m），（1，0）， 于是直線PF的斜率為 ，
所以直線PF的方程為 ，即為mx+2y﹣m=0．
（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x1 ， y1），（x2 ， y2），
由 得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0，
所以 ，x1x2=1．
于是 ．
點D到直線mx+2y﹣m=0的距離 ，
所以 ．
因為m∈R且m≠0，于是S＞4，
所以△DAB的面積S范圍是（4，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）及 ， ，得（1﹣x1 ， ﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1 ， m﹣y1）=μ（x2+1，y2﹣m），
于是 ， （x2≠±1）．
所以 ．
所以λ+μ為定值0
【解析】（Ⅰ）由題知點P，F(xiàn)的坐標分別為（﹣1，m），（1，0），求出斜率用點斜式寫出直線方程．（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x1 ， y1），（x2 ， y2），用弦長公式求出線段AB的長，再由點到直線的距離公式求點D到直線AB的距離，用三角形面積公式表示出面積關于參數m的表達式，再根據m的取值范圍求出面積的范圍．（Ⅲ） ， ，變化為坐標表示式，從中求出參數λ，μ用兩點A，B的坐標表示的表達式，即可證明出兩者之和為定值．
【考點精析】本題主要考查了一般式方程的相關知識點，需要掌握直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）才能正確解答此題．