Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性.

（2）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，且，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）

【解析】

（1）先求導(dǎo)函數(shù)得，再討論的符合即可得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）將不等式變形為，再構(gòu)造函數(shù)，則原命題等價(jià)于在上單調(diào)遞減，再利用導(dǎo)數(shù)求解即可.

解：（1）因?yàn)?/span>，

所以.

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)閷?duì)任意的且，恒成立，

不妨設(shè)，則，即，

設(shè)，則在上單調(diào)遞減，即，

所以對(duì)于恒成立.

所以對(duì)于恒成立，

令，則，

即，解得.

所以，存在，對(duì)任意的且，恒成立.