Question

【題目】已知無窮數(shù)列，滿足.

（1）若，求數(shù)列前10項(xiàng)和；

（2）若，且數(shù)列前2017項(xiàng)中有100項(xiàng)是0，求的可能值；

（3）求證：在數(shù)列中，存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）9（2）1144或1145（3）證明見解析

【解析】

（1）由條件分別計(jì)算前10項(xiàng)，即可得到所求和（2）討論x=1，2，3，…，計(jì)算得到數(shù)列進(jìn)入循環(huán)，求得數(shù)列中0的個(gè)數(shù)，即可得到所求值（3）運(yùn)用反證法證明，結(jié)合條件及無窮數(shù)列的概念，即可得證．

（1）因?yàn)閿?shù)列，滿足，，

則，

數(shù)列前10項(xiàng)和.

（2）當(dāng)x=1時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)為，

所以在前2017項(xiàng)中恰好含有672項(xiàng)為0；

當(dāng)x=2時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)為，

所以在前2017項(xiàng)中恰好含有671項(xiàng)為0；

當(dāng)x=3時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)為，

所以在前2017項(xiàng)中恰好含有671項(xiàng)為0；

當(dāng)x=4時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)為，

所以在前2017項(xiàng)中恰好含有670項(xiàng)；

當(dāng)x=5時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)為，

所以在前2017項(xiàng)中恰好含有670項(xiàng)為0；

由上面可以得到當(dāng)x=1144或x=1145時(shí)，在前2017項(xiàng)中恰好含有100項(xiàng)為0.

（3）證明：假設(shè)數(shù)列中不存在（k∈N*），使得,

則＜0或≥1（k=1，2，3，…）．

由無窮數(shù)列，滿足,

可得≥1，由于無窮數(shù)列，對(duì)于給定的，總可以相減后得到0，
故假設(shè)不成立．

所以在數(shù)列中，存在k∈N*，使得0≤＜1．