Question

（2013•綿陽二模）一只小球放入一長方體容器內(nèi)，且與共點(diǎn)的三個面相接觸．若小球上一點(diǎn)到這三個面 的距離分別為4、5、5，則這只小球的半徑是（　�。�

A．3 或 8

B．8 或 11

C．5 或 8

D．3 或 11

Answer 1

分析：小球在長方體容器內(nèi)，且與共點(diǎn)的三個面相接觸，則小球的球心A到三個接觸面的距離相等，小球上一點(diǎn)P到這三個面的距離分別為4、5、5，若以三個面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以其中兩個面的交線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系后，球心和小球上的點(diǎn)的坐標(biāo)可知，向量

OA

和

OP

的坐標(biāo)可求，由向量減法的三角形法則可得向量

AP

，向量

AP

的模就是小球的半徑，由半徑相等列式可求這只小球的半徑．

解答：解：如圖，
設(shè)長方體的三個面共點(diǎn)為O，以O(shè)E，OF，OG所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因為小球與共點(diǎn)的三個面相接觸，所以設(shè)球心A（r，r，r），
又因為小球上一點(diǎn)P到這三個面的距離分別為4、5、5，
所以點(diǎn)為P（5，4，5），
則

OA

=(r，r，r)，

OP

=(5，4，5)．
由

AP

=

OP

-

OA

=(5，4，5)-(r，r，r)=（5-r，4-r，5-r）．
∴|

AP

|2=(5-r)2+(4-r)2+(5-r)2=r2，
即r²-14r+33=0，解得：r=3或r=11．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了求外切多面體，考查了空間點(diǎn)、線、面間的距離的計算，利用空間向量處理該題起到事半功倍的效果，屬中檔題．