Question

（2013•綿陽二模）我們把離心率之差的絕對值小于

1

2

的兩條雙曲線稱為“相近雙曲線”．已知雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1與雙曲線

x2

m

-

y2

n

=1是“相近雙曲線”，則

n

m

的取值范圍是

[

4

21

，

4

5

]∪[

5

4

，

21

4

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求得雙曲線的離心率，再由“相近雙曲線”，得到關(guān)于

n

m

的不等式，解不等式求出離心率的范圍．

解答：解：雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的離心率為e₁=2，
①當(dāng)m＞0，n＞0時，雙曲線

x2

m

-

y2

n

=1的離心率為e₂=

m+n

m

=

1+ n m

，
由題意得|

1+ n m

-2|＜

1

2

，解得

5

4

＜

n

m

＜

21

4

；
②當(dāng)m＜0，n＜0時，雙曲線

x2

m

-

y2

n

=1即：-

x2

-m

+

y2

-n

=1的離心率為e₂=

-m-n

-n

=

1+ m n

，
由題意得|

1+ m n

-2|＜

1

2

，解得

4

21

＜

n

m

＜

4

5

；
故答案為：[

4

21

，

4

5

]∪[

5

4

，

21

4

]．

點評：本題考查雙曲線線標(biāo)準(zhǔn)方程以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，得到關(guān)于

n

m

的不等式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．