Question

【題目】動(dòng)點(diǎn)在圓： 上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)為．

（Ⅰ）求的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線， 分別交軌跡于， 兩點(diǎn)和， 兩點(diǎn)，且．證明：過和中點(diǎn)的直線過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用線段的中垂線的性質(zhì)和橢圓的定義判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，再求其軌跡方程；（Ⅱ）先利用直線的特殊情況探索直線過定點(diǎn)，再聯(lián)立直線和橢圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解．

試題解析：（Ⅰ）連接，根據(jù)題意，可知，則，

故點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，則， ，

∴，

所以點(diǎn)的軌跡的方程為．

（Ⅱ）分別設(shè)直線和的中點(diǎn)為、，當(dāng)直線斜率不存在或?yàn)?時(shí)，分析可知直線與軸重合，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，此時(shí)， ，直線的方程為，聯(lián)立解得直線經(jīng)過定點(diǎn)．

下面證明一般性：當(dāng)直線的斜率存在且不為0,1時(shí)，設(shè)直線的方程為，

則直線的方程為，設(shè)， ，

聯(lián)立消去得，

則，所以，

即，同理： ，

于是直線的斜率為，

故直線的方程為，

顯然時(shí)， ，故直線經(jīng)過定點(diǎn)．