Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；

（2）設(shè)，若對任意兩個不等的正數(shù)，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得實數(shù)的值；（2）設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為在上為增函數(shù)，即得在上恒成立，參變分離得，最后根據(jù)二次函數(shù)最值求實數(shù)的取值范圍；（3）先化簡不等式，并構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，按導(dǎo)函數(shù)零點與定義區(qū)間大小關(guān)系討論函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最小值，根據(jù)最小值小于零解得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：解：（1）由，得.　

由題意， ，所以.　　　　　　　　　　

（2）.

因為對任意兩個不等的正數(shù)，都有恒成立，設(shè)，則即恒成立.

問題等價于函數(shù)，

即在上為增函數(shù)，　　　　

所以在上恒成立.即在上恒成立.

所以，即實數(shù)的取值范圍是.　　　

（3）不等式等價于，整理得.構(gòu)造函數(shù)，

由題意知，在上存在一點，使得.

.

因為，所以，令，得.

①當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞增.只需，解得.

②當(dāng)即時， 在處取最小值.

令即，可得.

令，即，不等式可化為.

因為，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.

③當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞減，只需，解得.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.