Question

【題目】如圖，在直角梯形中， ， ， ，直角梯形通過(guò)直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且使得平面平面． 為線段的中點(diǎn)， 為線段上的動(dòng)點(diǎn)．

（）求證： ．

（）當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，求證：直線平面．

（）當(dāng)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，求直線和平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析；（3）直線和平面所成角的正弦值為.

【解析】試題分析：（1）建立空間坐標(biāo)系求兩直線的方向向量，根據(jù)點(diǎn)積為0可證的結(jié)論；（2）求得直線的方向向量和面的法向量，證得兩向量垂直即可；（3）求直線的方向向量和面的法向量的夾角即可.

解析：

由已知可得， ， ， 兩兩垂直，以為原點(diǎn)，

， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，

所以， ， ， ， ， ， ．

（）證明： ， ， ，

∴， ，

∴， ，

即， ，

∴平面．

又∵平面，

∴．

（）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則， ．

∵，∴， ， ，

解得： ， ， ，即．

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

∵， ，

∴，即，

令，則， ，得．

又，

∴．

∴直線平面．

（）當(dāng)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)， ，

設(shè)的一個(gè)法向量為．

∵， ，

∴，解，

令，則， ，得．

設(shè)與平面所成角為，則

．

故直線和平面所成角的正弦值為．