Question

已知函數(shù)和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．

（1）求證：為關(guān)于的方程的兩根；

（2）設(shè)，求函數(shù)的表達式；

（3）在（2）的條件下，若在區(qū)間內(nèi)總存在個實數(shù)（可以相同），使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意可知：

∵   ，   ……………………………2分

∴切線的方程為：，

又切線過點， 有，

即，  ①

同理，由切線也過點，得．②

由①、②，可得是方程（ * ）的兩根……………………………4分

（2）由（ * ）知．

       ，

       ∴ ．……………………………8分

（3）易知在區(qū)間上為增函數(shù)，

，

則．……………………10分

即，即，

所以，由于為正整數(shù)，所以．

又當(dāng)時，存在，滿足條件，

所以的最大值為．      …………12分