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        1. 設(shè)點(diǎn)D為等腰△ABC的底邊BC上一點(diǎn),F(xiàn)為過A、D、C三點(diǎn)的圓在△ABC內(nèi)的弧上一點(diǎn),過B、D、F三點(diǎn)的圓與邊AB交于點(diǎn)E.求證:CD•EF+DF•AE=BD•AF.

          證明:設(shè)AF的延長(zhǎng)線交⊙BDF于K,
          ∵∠AEF=∠AKB,
          ∴△AEF~△AKB,因此
          于是要證CD•EF+DF•AE=BD•AF(1),只需證明:CD•BK+DF•AK=BD•AB(2)
          又注意到∠KBD=∠KFD=∠C.
          我們有
          進(jìn)一步有
          因此要證(2),只需證明S△ABD=S△DCK+S△ADK(3)
          而(3)?S△ABC=S△AKC?BK∥AC(4)
          事實(shí)上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知(4)成立,得證.
          分析:要證CD•EF+DF•AE=BD•AF(1),只需證明:CD•BK+DF•AK=BD•AB(2);先設(shè)AF的延長(zhǎng)線交⊙BDF于K,通過證得兩個(gè)三角形相似:△AEF~△AKB,得到一個(gè)比例式.又注意到∠KBD=∠KFD=∠C,利用兩個(gè)三角形△ABD和△ADK的面積公式,最后只須證明S△ABD=S△DCK+S△ADK也就是要證S△ABC=S△AKC?BK∥AC(4),事實(shí)上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知(4)成立,從而問題解決.
          點(diǎn)評(píng):此題主要考查的是與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式,考查轉(zhuǎn)化思想.正確的作出輔助線得到相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角是解答此題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.
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          A.成30°角  B.垂直  C.成60°角  D.成45°角 

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