Question

設點D為等腰△ABC的底邊BC上一點，F為過A、D、C三點的圓在△ABC內的弧上一點，過B、D、F三點的圓與邊AB交于點E．求證：CD•EF+DF•AE=BD•AF．

Answer 1

分析：要證CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需證明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）；先設AF的延長線交⊙BDF于K，通過證得兩個三角形相似：△AEF～△AKB，得到一個比例式．又注意到∠KBD=∠KFD=∠C，利用兩個三角形△ABD和△ADK的面積公式，最后只須證明S_△ABD=S_△DCK+S_△ADK也就是要證S_△ABC=S_△AKC?BK∥AC（4），事實上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，從而問題解決．

解答：證明：設AF的延長線交⊙BDF于K，
∵∠AEF=∠AKB，
∴△AEF～△AKB，因此

EF

AF

=

BK

AB

，

AE

AF

=

AK

AB

．
于是要證CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需證明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）
又注意到∠KBD=∠KFD=∠C．
我們有S△DCK=

1

2

CD•BK•sin∠C
進一步有

S△ABD= 1 2 BD•AB•sin∠C S△ADK= 1 2 AK•DF•sin∠C

因此要證（2），只需證明S_△ABD=S_△DCK+S_△ADK（3）
而（3）?S_△ABC=S_△AKC?BK∥AC（4）
事實上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，得證．

點評：此題主要考查的是與圓有關的比例線段、相似三角形的性質、三角形的面積公式，考查轉化思想．正確的作出輔助線得到相似三角形的對應邊和對應角是解答此題的關鍵．屬于基礎題．