Question

【題目】無窮數(shù)列滿足： 為正整數(shù)，且對(duì)任意正整數(shù)， 為前項(xiàng)， ， ， 中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

（Ⅰ）若，請(qǐng)寫出數(shù)列的前7項(xiàng)；

（Ⅱ）求證：對(duì)于任意正整數(shù)，必存在，使得；

（Ⅲ）求證:“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有 成立”的充要條件。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)條件，直接寫出即可；

（Ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的， ，利用反證法證明即可；

（Ⅲ）可分充分性和必要性證明即可，當(dāng)時(shí)，得數(shù)列滿足， ，當(dāng)為偶數(shù)，則；當(dāng)為奇數(shù)，則，即可證得充分性；再作出必要性的證明即可.

試題解析：

（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1

（Ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的， . 由題意，

考慮數(shù)列的前項(xiàng)：

， ， ，…，

其中至少有項(xiàng)的取值相同，不妨設(shè)

此時(shí)有： ，矛盾.

故對(duì)于任意的正整數(shù)，必存在，使得.

（Ⅲ）充分性：

當(dāng)時(shí)，數(shù)列為， ， ， ， ， ， ，…， ， ， ， ，…

特別地， ， ，故對(duì)任意的

（1）若為偶數(shù)，則

（2）若為奇數(shù)，則

綜上， 恒成立，特別地，取有當(dāng)時(shí)，恒有成立

方法一:假設(shè)存在（），使得“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”

則數(shù)列的前項(xiàng)為

， ， ， ， ， ， ， ，…， ， ， ，

， ， ， ， ，…， ， ， ，

， ， ，…， ， ， ，

， ， ， ，

， ，

后面的項(xiàng)順次為

， ， ， ，…， ，

， ， ， ，…， ，

， ， ， ，…， ，

……

對(duì)任意的，總存在，使得， ，這與矛盾，故若存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立，必有

方法二：若存在，當(dāng)時(shí)， 恒成立，記.

由第（2）問的結(jié)論可知：存在，使得（由s的定義知）

不妨設(shè)是數(shù)列中第一個(gè)大于等于的項(xiàng)，即均小于等于s.

則.因?yàn)?/span>，所以，即且為正整數(shù)，所以.

記，由數(shù)列的定義可知，在中恰有t項(xiàng)等于1.

假設(shè)，則可設(shè)，其中，

考慮這t個(gè)1的前一項(xiàng)，即，

因?yàn)樗鼈兙鶠椴怀�過s的正整數(shù)，且，所以中一定存在兩項(xiàng)相等，

將其記為a，則數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)恰好為（a，1）的情況至少出現(xiàn)2次，但根據(jù)數(shù)列的定義可知：第二個(gè)a的后一項(xiàng)應(yīng)該至少為2，不能為1，所以矛盾！

故假設(shè)不成立，所以，即必要性得證！

綜上，“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”的充要條件.