Question

【題目】設(shè)函數(shù)，

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象在處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若不等式對(duì)恒成立，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）2

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，可得，，求出，，即可求出切線方程；

（2）求出，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即：恒成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立；即對(duì)恒成立，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求其最值，即可求得答案.

（1）當(dāng)時(shí)，

可得，

，

可得：，

所求切線方程為

（2）

.

令，則.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立

即：恒成立，

等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立；

即對(duì)恒成立.

令，，

，

令，，

，

在上單調(diào)遞增.

又，，

在上有唯一零點(diǎn)，且，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

，

故整數(shù)的最大值為.