Question

如圖，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，以點(diǎn)F為圓心的圓過原點(diǎn)O和橢圓的右頂點(diǎn)，設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，P到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和等于4.

(1)求橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線l的方程為x＝4，PM⊥l，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

(1)＋＝1   (x－1)²＋y²＝1
(2) 存在點(diǎn)P或，使得△FPM為等腰三角形

解：(1)由題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，由已知可得2a＝4，a＝2c，解得a＝2，c＝1，b²＝a²－c²＝3.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)²＋y²＝1.
(2)設(shè)P(x，y)，則M(4，y)，F(xiàn)(1,0)，－2≤x≤2，
∵P(x，y)在橢圓上，∴＋＝1，
∴y²＝3－x².
∴|PF|²＝(x－1)²＋y²＝(x－1)²＋3－x²＝ (x－4)²，
|PM|²＝|x－4|²，|FM|²＝3²＋y²＝12－x².
①若|PF|＝|FM|，則 (x－4)²＝12－x²，解得x＝－2或x＝4(舍去)，x＝－2時(shí)，P(－2,0)，此時(shí)P，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，不合題意．∴|PF|≠|(zhì)FM|；
②若|PM|＝|PF|，則(x－4)²＝ (x－4)²，解得x＝4，不合題意；
③若|PM|＝|FM|，則(x－4)²＝12－x²，解得x＝4(舍去)或x＝，x＝時(shí)y＝±，
∴P.
綜上可得，存在點(diǎn)P或，使得△FPM為等腰三角形．