Question

【題目】已知函數(shù)f（x）a2x（k∈R，a＞0，e為自然對數(shù)的底數(shù)），且曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為e2﹣a2．

（1）求實數(shù)k的值，并討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)g（x），若對x1∈（0，+∞），x2∈R，使不等式f（x2）≤g（x1）﹣1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k＝2，見解析（2）0＜a．

【解析】

（1）求出，由已知求出，，求出的范圍，即可得出結(jié)論；

（2）對x1∈（0，+∞），x2∈R，使不等式f（x2）≤g（x1）﹣1成立，轉(zhuǎn)化為由（1）求出，用導(dǎo)數(shù)法求出，即可求解.

（1），f'（1），

得，故k＝2，a＞0，所以＝e2x﹣a2＝e2x﹣e2lna，

當(dāng)x∈（﹣∞，lna）時，＜0，f（x）遞減；

當(dāng)x∈（lna，+∞）時，，f（x）遞增；

單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）根據(jù)（1）當(dāng)x∈R時，f（x）有最小值為

f（lna），

g（x），

，x∈（0，+∞），

令h（x）＝x2ex+lnx，顯然函數(shù)在（0，+∞）單調(diào)遞增，

由h（），h（1）＞0，

故h（x）在（，1）存在唯一的零點(diǎn)m，使得h（m）＝0，

即m2em+lnm＝0，當(dāng)x∈（0，m）時，g（x）遞減；

x∈（m，+∞）時，g（x）遞增；

故g（m）為g（x）的最小值，

g（m）﹣1

，

對于y與h（m）都單調(diào)遞增，

且當(dāng)時，0成立，

所以g（m）﹣1＝0，

根據(jù)題意，0，即，

故a，故0＜a．