Question

（14分）已知其中是自然常數(shù)，

（1）討論時(shí), 的單調(diào)性、極值;

（2）求證：在（1）的條件下，

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解析：（1），

∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為單調(diào)遞增

∴的極小值為                             （4分）

（2）的極小值，即在的最小值為1，∴

令

又，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減

∴                   （8分）

∴當(dāng)時(shí)，

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值3，，

①當(dāng)時(shí)，由于，則

∴函數(shù)是上的增函數(shù)，

∴，解得（舍去）   （10分）

②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，

此時(shí)是減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是增函數(shù)

∴，解得             （13分）

由①、②知，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3（14分）