Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

1

2

AD．
（1）求證：平面PAC⊥面PCD；
（2）在棱PD上找一點E，使CE∥面PAB，并說明理由；
（3）在（2）的前提下，求二面角E-AC-D的大小．

Answer 1

證明：

（1）設(shè)PA=1，由題意PA=BC=1，AD=2．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，而∠PBA=45°，∴AB=1，
又∠ABC=∠BAD=90°，得CD=AC=

2

．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．
又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，
又CD?面PCD，∴面PAC⊥面PCD．
（2）取E為PD的中點，作EF⊥AD于F，則F為AD的中點，且EF∥PA，
∴EF∥平面PAB，
由F為AD的中點以及PA=BC=

1

2

AD可得AF=BC，AF∥BC
所以；ABCF為平行四邊形；
∴CF∥AB；
CF∥平面PAB，
得到平面EFC∥平面PAB，
∴CE∥面PAB
（3）由第二問知，EF⊥平面ABCD；
過F作FG垂直AC于G，
由三垂線定理得∠EGF即為二面角E-AC-D的平面角．
由第一問得到的AC⊥CD
可得FG∥CD，F(xiàn)G=

1

2

CD，
在RT△EFG中，EF=

1

2

PA=

1

2

，F(xiàn)G=

1

2

CD=

2

2

．
∴tan∠EGF=

EF

FG

=

2

2

．
∴二面角E-AC-D的大小為：arctan

2

2

．