Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，以短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)坐標(biāo).

（Ⅱ）過橢圓的右焦點(diǎn)作軸的垂線，交橢圓于、兩點(diǎn)，過橢圓上不同于點(diǎn)、的任意一點(diǎn)，作直線、分別交軸于、兩點(diǎn).證明：點(diǎn)、的橫坐標(biāo)之積為定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.(Ⅱ)證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）由題意可得，.則所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

（Ⅱ）由題意可知的方程為：，的方程為：，則，.結(jié)合橢圓方程計算可得為定值.

詳解：

（Ⅰ）由題知，又因為離心率，所以，則.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

（Ⅱ）、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值，且定值為3.

設(shè)點(diǎn)，，.

則的方程為：，①

的方程為：，②

聯(lián)立①②得，.

所以 ，

又因為，

.