Question

定義區(qū)間，，，的長度均為，其中．
（1）求關于的不等式的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度；
（2）若關于的不等式的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為，求實數(shù)的值；
（3）已知關于的不等式，的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）區(qū)間的長度是.
（2）（舍）.
（3）實數(shù)的取值范圍是.

試題分析：（1）不等式的解是
所以區(qū)間的長度是  3分
（2）
當時，不符合題意  4分
當時，的兩根設為，且
結(jié)合韋達定理知 
解得（舍）  7分
（3）
=
設，原不等式等價于 ，   9分
因為函數(shù)的最小正周期是，長度恰為函數(shù)的一個正周期
所以時，， 的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過
即實數(shù)的取值范圍是  12分
點評：難題，指數(shù)不等式，常常化為同底數(shù)指數(shù)冪的不等關系或利用“換元法”，加以轉(zhuǎn)化。三角函數(shù)不等式問題，通常利用三角公式進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，加以處理，本題較難。