Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）寫出函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，并求圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)對(duì)任意的恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）A(1,0),（2）.

【解析】

（1）由題定點(diǎn)為由，求k,點(diǎn)斜式寫出直線即可；（2）由得單調(diào)遞增，由討論的正負(fù)，求f(x)的最值即可.

（1）函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>，所以切線的斜率為，

所以圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即為.

（2）因?yàn)?/span>，

所以，

因?yàn)?/span>，所以.

所以在上單調(diào)遞增，

所以.

①若，即時(shí)，得，所以在上單調(diào)遞增，

所以，

即對(duì)任意的恒成立.

②若，即時(shí)，，，，

由零點(diǎn)存在定理得，在上存在零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，

所以，成立，所以在單調(diào)遞減，

所以，，

所以對(duì)任意的不恒成立.

綜上，，即的最大值為.