Question

已知橢圓M的對稱軸為坐標軸，且圓x²+y²+2

2

y=0的圓心為橢圓M的一個焦點，又點A（1，

2

）在橢圓M上．
（1）求橢圓M的方程；
（2）已知直線l的斜率為

2

，若直線l與橢圓M交于B、C兩點，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由圓心坐標易得c=

2

，于是可設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，由點A（1，

2

）在橢圓M上，得

2

a2

+

1

a2-2

=1，解出即可；
（2）設(shè)直線l的方程為y=

2

x+m，由

y= 2 x+m y2 4 + x2 2 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，由△＞0可得m范圍，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用弦長公式可表示|BC|，由點到直線的距離公式可表示點A到l的距離d，利用三角形面積公式及二次函數(shù)性可求面積最大值；

解答： 解：（1）由已知知圓的圓心為（0，-

2

），則c=

2

，
∴可設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，
又點A（1，

2

）在橢圓M上，
∴

2

a2

+

1

a2-2

=1，解得a²=4，
∴橢圓M的方程為

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）設(shè)直線l的方程為y=

2

x+m，
由

y= 2 x+m y2 4 + x2 2 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
則△=8m²-16（m²-4）＞0，得m²＜8，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

，
∴|BC|=

3

•

(- 2 2 m)2-4• m2-4 4

=

3

•

4- 1 2 m2

，
點A到直線l的距離d=

|m|

3

，
∴SABC=

1

2

•|BC|d=

1

2

•

3

•

4- 1 2 m2

•

|m|

3

=

1

2

•

- 1 2 (m2-4)2+8

，
又m²＜8，
∴當(dāng)m²=4，即m=±2時S_△ABC取得最大值

2

．

點評：本題考查橢圓的方程、性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生運算求解能力，韋達定理、弦長公式是常用知識點，要熟練掌握．