Question

若曲線f（x，y）=0（或y=f（x））在其上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱(chēng)這條切線為曲線f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線，下列方程的曲線存在自公切線的序號(hào)為

 

（填上所有正確的序號(hào)）①y=x²-|x|；②|x|+1=

4-y2

③y=3sinx+4cosx；④x²-y²=1⑤y=xcosx．

Answer 1

分析：化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的圖象的特征，判斷此函數(shù)是否有自公切線．

解答：解：①y=x²-|x|=

(x- 1 2 )2- 1 4 (x+ 1 2 )2- 1 4

； 在 x=

1

2

 和 x=-

1

2

 處的切線都是  y=-

1

4

，故①有自公切線．
②|x|+1=

4-y2

  即 x²+2|x|+y²-3=0，結(jié)合圖象可得，此函數(shù)沒(méi)有自公切線．
③y=3sinx+4cosx=5sin（x+∅），cos∅=

3

5

，sin∅=

4

5

，此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合，
故此函數(shù)有自公切線．
 ④x²-y²=1 是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線．
 ⑤y=xcosx 的圖象過(guò)（2π，2π ），（4π，4π），圖象在這兩點(diǎn)的切線都是y=x，故此函數(shù)有自公切線．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的自公切線的定義，函數(shù)圖象的特征，準(zhǔn)確判斷一個(gè)函數(shù)是否有自公切線，是解題的難點(diǎn)．