Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使恒為定值？若存在，求出的坐標(biāo)，并求出這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，使為定值.

【解析】試題分析：（1）求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得，再求出的值，即可求橢圓的方程；（2）分類(lèi)討論，設(shè)出直線(xiàn)方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論.

試題解析：(1)由題意，知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以，因?yàn)闄E圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與構(gòu)成正三角形，所以，可求得，故橢圓的方程為.

(2)假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)設(shè)其斜率為k，則的方程為，由，得，設(shè)，，易得：，，則，，所以 要使為定值，令，即，此時(shí).

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，不妨取，由，可得，，所以，綜上，存在點(diǎn)，使為定值.