Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+sin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若x=x₀（0≤x₀≤

π

2

）為f（x）的一個零點，求cos2x₀的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（2x-

π

6

）+

1

2

，利用正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可求得f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）由f（x₀）=2sin（2x₀-

π

6

）+

1

2

=0，得sin（2x₀-

π

6

）=-

1

4

＜0，0≤x₀≤

π

2

，可得-

π

6

≤2x₀-

π

6

≤0，于是可求得cos（2x₀-

π

6

）的值，利用兩角和的余弦即可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+

3

sin2x+

1

2

（sin²x-cos²x）=

1-cos2x

2

+

3

sin2x-

1

2

cos2x，
=

3

sin2x-cos2x+

1

2

=2sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
∴f（x）的周期為π，由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]k∈Z．
（Ⅱ）由f（x₀）=2sin（2x₀-

π

6

）+

1

2

=0，得sin（2x₀-

π

6

）=-

1

4

＜0，
又由0≤x₀≤

π

2

得-

π

6

≤2x₀-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

π

6

≤2x₀-

π

6

≤0，故cos（2x₀-

π

6

）=

15

4

，
此時cos2x₀=cos[（2x₀-

π

6

）+

π

6

]=cos（2x₀-

π

6

）cos

π

6

-sin（2x₀-

π

6

）sin

π

6

=

15

4

×

3

2

-（-

1

4

）×

1

2

=

3 5 +1

8

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系的應(yīng)用及兩角和的余弦，突出考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．