Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右交點(diǎn)分別為， ，點(diǎn)滿足．

（）求橢圓的離心率．

（）設(shè)直線與橢圓相交于， 兩點(diǎn)，若直線與圓相交于， 兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）直接利用|PF2|=|F1F2|，對應(yīng)的方程整理后即可求橢圓的離心率e；（Ⅱ）先把直線PF2與橢圓方程聯(lián)立求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)以及對應(yīng)的|AB|兩點(diǎn)，進(jìn)而求出|MN|，再利用弦心距，弦長以及圓心到直線的距離之間的等量關(guān)系，即可求橢圓的方程

試題解析：(Ⅰ)設(shè)， ．

因?yàn)?/span>，則， ，

由，有，即， （舍去）或．

所以橢圓的離心率為．

(Ⅱ) 解．因?yàn)?/span>，所以， ．所以橢圓方程為．

直線的斜率，則直線的方程為．

兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

消去并整理得．則， ．

于是 不妨設(shè)， ．

所以．

于是．

圓心到直線的距離，

因?yàn)?/span>，所以，即，

解得（舍去），或．于是， ．

所以橢圓的方程為．