Question

【題目】已知圓過定點(diǎn)，圓心在拋物線上，、為圓與軸的交點(diǎn).

（1）求圓半徑的最小值；

（2）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為一定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記，，求的最大值，并求此時(shí)圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3），

【解析】

（1）設(shè)半徑為，根據(jù)拋物線方程設(shè)出圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心和定點(diǎn)寫出半徑的表達(dá)式，計(jì)算的最小值即可；

（2）根據(jù)（1）中的表示，寫出圓的方程，令計(jì)算出的橫坐標(biāo)，計(jì)算是否為定值即可證明；

（3）計(jì)算出的值，然后利用已求的值對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)基本不等式確定最大值，從而求出圓心坐標(biāo)和半徑確定出圓的方程.

（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以，取等號(hào)時(shí)，所以；

（2）因?yàn)閳A心坐標(biāo)為，半徑，所以圓的方程為：，

令，所以，所以，所以，所以為定值；

（3）由（2）可知：取，，

所以，，

所以，

所以的最大值為，

取等號(hào)時(shí)，所以，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，

所以圓的方程為：.