Question

在四棱錐中，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，．

（1）求證：；
（2）求證：；
（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）證明過程詳見試題解析；（3）.

試題分析：（1）由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得,平面,那么由線面平行的判定可以得到；（2）取的中點(diǎn),連結(jié),由于,,所以,那么,故，又,平面,有平面,得到,即,從而得到平面,從而得到; （3）要求三棱錐的體積，由（2）有為三棱錐的高，利用體積公式求出即可.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035427912318.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則在的中， 
又 
則∥平面.
（2）證明:取中點(diǎn)，連接.

在中，，，
則,．
而，則在等腰三角形中 . ①
又在中，,
則∥ 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035428380394.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，則，
又，即，則平面，所以 
因此． ②
又，由①②知 平面．
故 
（3）由（1）（2）知 , ，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035429191429.png" style="vertical-align:middle;" />平面， ∥，則平面 
因此為三棱錐的高
而 
故