Question

【題目】從數(shù)列中抽出一項(xiàng)，依原來的順序組成的新叫數(shù)列的一個子列.

（1）寫出數(shù)列的一個是等比數(shù)列的子列；

（2）若是無窮等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比且，則數(shù)列是否存在一個子列，為無窮等差數(shù)列？若存在，寫出該子列的通項(xiàng)公式；若不存在，證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）注意到，所以子數(shù)列為；（2）假設(shè)能抽出一個子列為無窮等差數(shù)列，設(shè)為，通項(xiàng)公式為.由于，對分成和兩類進(jìn)行分類討論，退出矛盾，所以假設(shè)不成立，不存在這樣的子列.

試題解析：

（1） .

（2）證明: 假設(shè)能抽出一個子列為無窮等差數(shù)列，設(shè)為，通項(xiàng)公式為.①當(dāng)時，,且數(shù)列是遞減數(shù)列，所以也為遞減數(shù)列且, 令, 得，即存在，使得，這與矛盾. ②當(dāng)時，，數(shù)列是遞增數(shù)列，所以也為遞增數(shù)列且為正整數(shù)，且，所以存在正整數(shù)使得，

令，則，即，但這與矛盾，說明假設(shè)不成立.所以數(shù)列不存在是無窮等差數(shù)列子列.